Elementos, notación de conxunto de conxuntos, conxuntos de intersección, diagramas de Venn
Descrición xeral de conxuntos
Matemáticamente, un conxunto é unha colección ou lista de obxectos.
Os conxuntos non só forman parte de números, pero poden conter calquera cousa que inclúa:
- a comida no teu frigorífico;
- os planetas no sistema solar;
Aínda que os conxuntos poden conter calquera cousa, adoitan referirse a números que se axustan a un patrón ou que están relacionados de algunha maneira, como o:
- conxunto de números pares positivos menores de 10: (0, 2, 4, 6, 8);
- conxunto de factores para o número 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Establecer notación
Os obxectos dun conxunto chámanse elementos e úsanse os seguintes conxuntos de notación ou conxuntos:
- As letras maiúsculas únicas úsanse para identificar conxuntos, como J, E ou F ;
- As letras ou números minúsculas empréganse para os elementos dun conxunto;
- Os arrueles {} denotan unha lista de elementos nun conxunto;
- As comas usan para separar os elementos do conxunto.
Así, os exemplos de notación definida serían:
J = {jupiter, saturno, uranus, neptuno}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
Orde e repetición de elementos
Os elementos dun conxunto non teñen que estar en ningunha orde particular polo que o conxunto J anterior tamén podería escribirse como:
J = {saturno, xúpiter, neptuno, urano}
ou
J = {neptuno, xúpiter, uranus, saturno}
Os elementos repetitivos tampouco modifican o conxunto, polo que:
J = {jupiter, saturno, uranus, neptuno}
e
J = {jupiter, saturno, uranus, neptuno, xúpiter, saturno}
son o mesmo conxunto porque ambos conteñen só catro elementos diferentes: xúpiter, saturo, uranio e neptuno.
Conxuntos e elipsis
Se hai un número infinito ou ilimitado nun conxunto, úsase unha elipse (...) para mostrar que o patrón do conxunto continúa sempre nesa dirección.
Por exemplo, o conxunto de números naturais comeza en cero, pero non ten fin, polo que pode escribirse na forma:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Outro conxunto especial de números que non ten fin é o conxunto de números enteiros. Dado que os enteiros poden ser positivos ou negativos, con todo, o conxunto usa elipses en ambos extremos para mostrar que o conxunto segue para sempre en ambos sentidos:
{ ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Outro uso para elipses é encher o medio dun conxunto grande como:
{0, 2, 4, 6, 8, ..., 94, 96, 98, 100}
A elipsis mostra que o patrón - só números pares - continúa pola sección non escrita do conxunto.
Conxuntos Especiais
Os conxuntos especiais que se usan con frecuencia identificáronse con letras ou símbolos específicos. Estes inclúen:
- Ø ou {} - o conxunto baleiro - un conxunto que non contén elementos ;
- U - o conxunto universal - un conxunto que contén todos os elementos relativos a unha determinada definición de conxunto ;
- Z - o conxunto de enteiros: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... };
- N - números naturais (números enteiros positivos): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }.
Roster vs. Métodos descritivos
Escribindo ou listando os elementos dun conxunto, como o conxunto dos planetas internos ou terrestres do noso sistema solar, chámase notación de roster ou o método da lista .
T = {mercurio, venus, terra, mars}
Outra opción para identificar os elementos dun conxunto usa o método descritivo, que usa unha declaración ou nome breve para describir o conxunto como:
T = {os planetas terrestres}
Notación de Set-Builder
Unha alternativa á lista e aos métodos descritivos é a de usar a notación de set-build , que é un método de taquigrafía que describe a regra que seguen os elementos do conxunto (a regra que os fai membros dun determinado conxunto) .
A notación de set-build para o conxunto de números naturais maiores que cero é:
{x | x ∈ N, x > 0 }
ou
{x: x ∈ N, x > 0 }
Na notación de set-builder, a letra "x" é unha variable ou marcador de posición, que pode ser substituído por calquera outra letra.
Caracteres abreviados
Os caracteres abreviados que se usan coa notación de set-builder inclúen:
- A barra vertical ou o colon (ou os caracteres) son separadores que len como tal que;
- O epsilon en minúsculas (carácter ∈ ) é lido como un elemento de;
- O carácter - é lido como un elemento de.
Entón, {x | x ∈ N, x > 0 } serían lidos como:
"O conxunto de todos x , tal que x é un elemento do conxunto de números naturais e x é maior que 0."
Conxuntos e Diagramas de Venn
Un diagrama de Venn (ás veces referido como un diagrama de conxunto ) úsase para mostrar as relacións entre os elementos de diferentes conxuntos.
Na imaxe de arriba, a sección de solapamento do diagrama de Venn mostra a intersección dos conxuntos E e F (elementos comúns a ambos conxuntos).
Abaixo amósanse a notación de set-builder para a operación (o "U" de cabeza abaixo significa a intersección):
E ∩ F = {x | x ∈ E , x ∈ F}
O bordo rectangular ea letra U na esquina do diagrama de Venn representan o conxunto universal de todos os elementos en consideración para esta operación:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}